The fundamental group of a rigid Lagrangian cobordism

Abstract

In this article we extend the construction of the Floer fundamental group to the monotone Lagrangian setting (for weakly exact or monotone Lagrangians with large minimal Maslov number) and use it to study the fundamental group of a Lagrangian cobordism $W\subset (\mathbb {C}\times M, \omega _{st}\oplus \omega )$ between two Lagrangian submanifolds $L, L'\subset ( M, \omega )$. We show that under natural conditions the inclusions $L,L'\hookrightarrow W$ induce surjective maps $\pi _{1}(L)\twoheadrightarrow \pi _{1}(W)$, $\pi _{1}(L')\twoheadrightarrow \pi _{1}(W)$ and when the previous maps are injective then W is an h-cobordism. In particular, in dimension at least 6, W is topologically trivial in this case.

Résumé

Dans cet article, nous prolongeons la construction du groupe fondamental de Floer au cadre lagrangien monotone (faiblement exact ou monotone avec nombre de Maslov minimal suffisemment grand) et l’utilisons pour étudier le groupe fondamental d’un cobordisme lagrangien $W\subset (\mathbb {C}\times M, \omega _{st}\oplus \omega )$ entre deux sous-variétés lagrangiennes $L, L'\subset ( M, \omega )$. Nous montrons que dans des conditions naturelles les inclusions $L,L'\hookrightarrow W$ induisent des applications surjectives $\pi _{1}(L)\twoheadrightarrow \pi _{1}(W)$, $\pi _{1}(L')\twoheadrightarrow \pi _{1}(W)$ et quand les applications précédentes sont injectives W est un h-cobordisme. En particulier, en dimension au moins 6, W est topologiquement trivial dans ce cas.