Milnor $K_2$ and p-adic zeta functions for real quadratic fields

Abstract

G. Stevens (http://math.bu.edu/people/ghs/research.html) constructed a modular symbol taking values in circular K-groups, which is intimately related to Eisenstein series. We make precise a relationship between his Milnor K-theoretic modular symbol $\Phi _{MK}$ and the period integrals of Eisenstein series. The main goal here is to extract from $\Phi _{MK}$ a group 1-cocyle on ${{\mathrm{SL}}}_2(\mathbb {Q})$ with values in differential form valued distributions and use this to construct a p-adic locally analytic distribution which gives a p-adic partial zeta function of a real quadratic field.

Résumé

G. Stevens (http://math.bu.edu/people/ghs/research.html) a construit un symbole modulaire prenant ses valeurs dans un K-groupe circulaire, qui s’avère intimement relié aux séries d’Eisenstein. Nous décrivons une relation précise entre son symbole K-théorique $\Phi _{MK}$ de Milnor et les périodes intégrales des séries d’Eisenstein. Notre objectif principal ici est d’extraire de $\Phi _{MK}$ un groupe 1-cocycle sur ${{{\mathrm{SL}}}}_2(\mathbb {Q})$ à valeurs dans des distributions valuées de formes différentiables et de nous en servir pour construire une distribution analytique localement p-adique qui fournit une fonction zêta partielle p-adique d’un corps quadratique réel.