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Bahnkorrektur auf Ellipsenbahnen

Teil 1 Bahnen mit kleiner Exzentrizität

Orbit correction on elliptical orbits

Part 1 Orbits with low eccentricity

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Forschung im Ingenieurwesen Aims and scope Submit manuscript

Zusammenfassung

Mit Hilfe der erweiterten Hillschen Gleichungen für Ellipsenbahnen mit kleiner Exzentrizität wird eine Methode zur Bahnkorrektur von Satelliten angegeben. Zu einem vorgegebenen Parameter, der Transferzeit, werden die erforderlichen beiden Geschwindigkeitskorrekturen für ein Zwei-Impuls-Manöver ermittelt. Außerdem werden die Einschränkungen für mögliche Transferzeiten angegeben. Es wird ferner gezeigt wie der optimale Parameter für einen minimalen Geschwindigkeitsbedarf zur Treibstoffoptimierung bestimmt werden kann. Die Zielfunktion dieser Optimierung hängt dabei nur von einer Variablen, nämlich der Transferzeit ab. Daher kann das Minimum mit einem Optimierungsverfahren oder noch einfacher mit dem Newton-Verfahren numerisch leicht bestimmt werden. Die angegebene Methode lässt sich auch auf verwandte Probleme der Bahnmechanik anwenden.

Abstract

Using the extended Hill’s equations for elliptical orbits a method of path correction for satellites is presented. For a given Parameter, the transfer time, the two instantaneous velocity changes for a two-impulse transfer are determined. Additional the restrictions for the transfer time are outlined and it is shown how the optimal parameter of minimal \(\Delta v\) will be computed. The objective function depends on one variable only, i.e. the transfer time. Therefore, the minimum may be numerically determined straightforward by using an optimization program or more sophisticated by applying the Newton method. The method of path correction used here may be also applied to related problems of orbit mechanics.

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Abb. 1
Abb. 2
Abb. 3
Abb. 4
Abb. 5
Abb. 6
Abb. 7
Abb. 8
Abb. 9

Abbreviations

\(a\) :

große Halbachse der Referenzellipse

\(e\) :

Exzentrizität der Referenzellipse

\(f_{i}\), \(g_{i}\), \(h_{j}\) :

Funktionen von \(\tau\), \(i=1,\,2,\,3,\,4\), \(j=1,\,2\)

\(\vec{e}_{\xi}\), \(\vec{e}_{\eta}\), \(\vec{e}_{\zeta}\) :

Einheitsvektoren des Relativsystems

\(p=a(1-e^{2})\) :

Bahnparameter

\(t\) :

Zeit

\(t_{E}\) :

Zeitpunkt des zweiten Geschwindigkeitsinkrements

\(T_{\pi}\) :

Zeitpunkt des Perizentrumdurchgangs

\(\Delta v\) :

Geschwindigkeitsbedarf (\(\Delta v=|\Delta\vec{v}_{1}|+|\Delta\vec{v}_{2}|\))

\(\Delta\vec{v}_{i}\) :

Geschwindigkeitsinkremente, \(i=1,\,2\)

\(\theta\) :

wahre Anomalie

\(\theta_{0}\) :

wahre Anomalie zum Zeitpunkt \(t=0\)

\(\mu\) :

Gravitationsparameter des Zentralkörpers

\(\xi,\,\eta,\,\zeta\) :

Koordinaten des Relativsystems

\(\xi_{0},\,\eta_{0},\,\zeta_{0}\) :

Anfangsbedingungen, Koordinaten der Ortsabweichung

\(\dot{\xi}_{0},\,\dot{\eta}_{0},\,\dot{\zeta}_{0}\) :

Anfangsbedingungen, Koordinaten der Geschwindigkeitsabweichung

\(\xi_{0}^{\prime},\,\eta_{0}^{\prime},\,\zeta_{0}^{\prime}\) :

Anfangsbedingungen, \((\xi_{0}^{\prime},\,\eta_{0}^{\prime},\,\zeta_{0}^{\prime})=\omega_{0}(\dot{\xi}_{0},\,\dot{\eta}_{0},\,\dot{\zeta}_{0})\)

\(\dot{\xi}_{T0},\,\dot{\eta}_{T0},\,\dot{\zeta}_{T0}\) :

Anfangsbedingungen auf der Transferbahn, \((\dot{\xi}_{T0},\,\dot{\eta}_{T0},\,\dot{\zeta}_{T0})=(\dot{\xi}_{0}+\Delta\dot{\xi}_{1},\,\dot{\eta}_{0}+\Delta\dot{\eta}_{1},\,\dot{\zeta}_{0}+\Delta\dot{\zeta}_{1})\)

\(\xi_{T0}^{\prime},\,\eta_{T0}^{\prime},\,\zeta_{T0}^{\prime}\) :

Anfangsbedingungen auf der Transferbahn, \((\xi_{T0}^{\prime},\,\eta_{T0}^{\prime},\,\zeta_{T0}^{\prime})=(\xi_{0}^{\prime}+\Delta\xi_{1}^{\prime},\,\eta_{0}^{\prime}+\Delta\eta_{1}^{\prime},\,\zeta_{0}^{\prime}+\Delta\zeta_{1}^{\prime})\)

\(\Delta\dot{\xi}_{i},\,\Delta\dot{\eta}_{i},\,\Delta\dot{\zeta}_{i}\) :

Komponenten der Geschwindigkeitsinkremente \(\Delta\vec{v}_{i}\), \(i=1,\,2\)

\(\Delta\xi_{i}^{\prime},\,\Delta\eta_{i}^{\prime},\,\Delta\zeta_{i}^{\prime}\) :

\((\Delta\xi_{i}^{\prime},\,\Delta\eta_{i}^{\prime},\,\Delta\zeta_{i}^{\prime})=\omega_{0}(\Delta\dot{\xi}_{i},\,\Delta\dot{\eta}_{i},\,\Delta\dot{\zeta}_{i})\)

\(\vec{\varrho}\) :

Ortsvektor des zweiten Satelliten im Relativsystem

\(\tau=\omega_{0}t\) :

Zeitparameter (\(\omega_{0}^{2}=\mu/p^{3}\))

\(\tau_{E}=\omega_{0}t_{E}\) :

Zeitparameter zum Zeitpunkt \(t_{E}\)

\({}^{\prime}=\frac{d}{d\tau}\) :

\({}^{)}=\frac{d}{d\tau_{E}}\) :

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Eidel, W. Bahnkorrektur auf Ellipsenbahnen. Forsch Ingenieurwes 86, 133–143 (2022). https://doi.org/10.1007/s10010-022-00578-y

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