This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
References
Zasada ta, jak i oparte na niej wnioskowanie, nosi różne nazwy. Mówi się: indukcja matematyczna, indukcja arytmetyczna, indukcja zupełna, indukcja sukcesywna (De Morgan), indukcja przez rekurencję (Poincaré), indukcja doskonała, indukcja zupełna przez rekurencję. Termin indukcja zjawił się w matematyce u J. Wallisa i Jakuba Bernoulliego, u każdego w innym sensie. W znaczeniu bardzo bliskim współczesnego występuje u tego ostatniego w dzieleArs coniectandi, wydanym pośmiertnie w Bazylei w r. 1713. Powszechnie występuje dopiero od początku XIX w., choć np. Ch. Peirce używa jeszcze nazwy Fermatian inference. Zob.Fl. Cajori:Origin of the name “Mathematical Induction”. The American Mathematical Monthly XXV (1918), s. 197–201.
Por.A. Mostowski iM. Stark:Algebra wyższa, I, Warszawa 1953, 4. Zasadę tę można by tak jeszcze przedstawić: Jeżelif(l) i (dla każdegox, (jeżelif(x), tof(x+1))), to (dla każdegon, f(n)).
Dokładne sformułowanie zasady indukcji pozaskończonej oraz przytoczone na jej temat dane historyczne znajdują się w książce:W. Kuratowski iA. Mostowski:Teoria mnogości, Warszawa-Wrocław 1952, s. 187–8.
Zob. teżOpera, Genevae 1744 I, s. 282–3. Bernoulli doszedł do tego sposobu dowodzenia samodzielnie, a wArs coniectandi używał go kilkakrotnie, stąd niemiecka nazwa indukcji matematycznej Bernoullischer Schluss.
Zob.Oeuvres, ed. L. Brunschvicg, Paris 1908, III, s. 456. Dowód w oparciu o zasadę indukcji znał też P. Fermat (1608–65). Pascal w listach do niego czynił wyraźne aluzje do tego rodzaju dowodów. Zob.M. Cantor:Vorlesungen über Geschichte der Mathematik II, Leipzig 1892, s. 684;Formulaire mathématique publié par G. Peano, ed. compl. t. IV, Turin 1903, s. 35 i 323.
Sur le principe d'induction mathématique. Revue de Métaphysique et de Morale XIX (1911), 30–3;Maurolycus the first discoverer of the principle of mathematical induction., Bulletin of the American Mathematical Society XVI (1909–10), s. 70–3; oraz podobny po włosku w Boll. bibl. Stor. Mat. (Torino) XII (1910), s. 33–5. Na pytanie, czy Pascal znał Maurolyco, odpowiada Vacca twierdząco. Pascal w r. 1659 wyraźnie powołuje się na Maurolyco. Zob.Oeuvres complètes, III, Paris 1889, Hachette, s. 377 (nie ma tego w wydaniu Brunschvicga). Mimo to Pascal zdaje się uważać ten środek dowodowy za częściowo przynajmniej nowy. Maurolyco ułatwił mu tylko jego wynalezienie.
M. Cantor: dz. cyt.Vorlesungen über Geschichte der Mathematik II, Leipzig 1892, s. 514 n. i 525–6.
Vacca zauważa, że De Morgan wPenny Cyclopedia (London 1838) użył właśnie dowodu tego samego twierdzenia jako przykładu stosowania indukcji matematycznej.
W dowodzie 20-tej tezy ks. IXElementów można dopatrywać się raczej zasady, że w dowolnym zbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza. Zasada ta jest inferencyjnie równoważna zasadzie indukcji matematycznej.
JohannesTropfke:Geschichte der Elementar-Mathematik..., VI Analysis, 2 Aufl., Berlin-Leipzig 1924, s. 43–4.
Tropfke powołuje się naH. Vogt:Die Entdeckungsgeschichte des Irrationalen nach Platon und anderen Quellen des IV Jahrhunderts, Bibl. Math. X (1909–10), s. 108–111.
Por.J. Carlebach:Lewi Ben Gerson als Mathematiker. Berlin 1910, s. 56 i 181. Warto dodać, że Lewi uważa jeden za liczbę.
Maurolyco tak przytacza te przykłady, aby były konkretyzacją nie tylko tezy 13-ej, ale i równocześnie 15-ej. Dzięki temu widoczna staje się poszukiwana równość.
Podkreślam, że dowód tezy 15-ej jest właściwie dowodem tezyn 2=1+3+5+...+ +(2n−1). Potem już czysto dedukcyjnie otrzymuje się tezę 15-tą. Dopatrywanie się indukcji matematycznej w dowodzie tezy 15-ej może się rodzić i stąd, że wydaje się, jakby twierdzenie 13-te wystarczyło do udowodnienia tezy 15-ej, skoro tylko okaże się, iż sprawdza się ona dla jeden. Jest to złudne. Twierdzenie 13-te—jak pokazałem—do tego nie wystarczy. Nie stwierdza ono bowiem w zdaniu warunkowym ważności tezy 15-ej dla dowolnych kolejnych dwu liczb.
Może być użyta w dowodach niektórych twierdzeń z algebry elementarnej, algebry wyższej, analizy matematycznej (np. dowód nierówności Bernouilliego), a nawet w geometrii. Por.J. Uspenski:A curious case of the use of mathematical induction in geometry. The American Mathematical Monthly XXXIV (1927), s. 247 n. orazL. J. Gołowina-I. M. Jaglom:Indukcja w gieometrii, Moskwa 1956.
W tym ostatnim powiedzeniu Vacca dopatruje się dowodu dla mniemania, że Maurolyco był świadom waloru stosowanej przez siebie metody. Nie wydaje się to jedyna czy nawet wystarczająco uzasadniona interpretacja tekstu Maurolyco. W porównaniu np. z Arytmetyką Jordana (z uzupełnieniem Fabra) “łatwiejsza droga” dowodzenia nie musiała polegać na zastosowaniu indukcji (bez ogólnego jej sformułowania dowody nie stałyby się w widoczny sposób łatwiejsze), ale po prostu na pragnieniu uproszczenia dowodów, aby dać bardziej przystępny podręcznik.
Jak wynika bowiem z zamieszczonego na końcu jego Matematyki wykazu prac Maurolyco ten ostatni przekłada Theona geometrię pt.Data Geometrica (przekład ten nie został wydany). Wolno przypuszczać, że przy swej erudycji znał też arytmetykę Theona.
Nie wymienia się tu Diophanta z Aleksandrii (ok. połowy III w.); jego arytmetyka ma zresztą inny charakter.
Euclidis Elementa, ed. I. L. Heiberg, II, Lipsiae 1884, s. 355–7.
Już to wystarczy do okazania, że każdy człon będzie sześcianem. Skoro pierwszy człon jest sześcianem i mnożnikiem w tym postępie geometrycznym jest sześcian, to z konieczności każdy człon tego szeregu powstaje z pomnożenia sześcianu przez sześcian, co daje zawsze sześcian.
Nicomachi Geraseni Pythagorei Introductionis Arithmeticae Libri II, rec. Ricardus Hoche, Leipzig 1866 (I wyd. było w Paryżu w r. 1538).
In Nicomachi Arithmeticam Introductionem Liber, ed. H. Pistelli, Leipzig 1894. Obok tego Jamblich jest autorem dziesięciu ksiąg Twierdzeń Pitagorejskich.
A.M.S. Boetii De Aritmetica libri duo, ed. Migne, P.L. LXIII, s. 1079–1168. Pierwszy łaciński przekład Arytmetyki Nikomacha dokonany przez Apulejusza z Madaury, jak twierdzi Kasjodor, zaginął (zob. P.L. LXX, s. 1208).
Wraz z przekładem łacińskim po raz pierwszy wydał go Bouillaud (Paris 1644), a potem von de Gelder (Leiden 1827), Hiller (Leipzig 1878) i Dupuis (Paris 1892). Posługuję się tu wydaniem pierwszym, które w łacińskiej wersji nosi tytuł: Theonis Smyrnaei Platonici eorum, quae in Mathematicis ad Platonis lectionem utilia sunt expositio ... opus nunc primum editum, latina versione ac notis illustratum ab Ismaele Bullialdo.
Dokładne porównanie arytmetyk Nikomacha i Theona przeprowadzone jest wNicomach us of Gerasa Introduction to Arithmetic, Trans. M.D'Ooge, New-York (1926) 1938, s. 37–45.
Rozdz. 15-ty (s. 41). To samo twierdzenie i podobnie uzasadnione jest w rozdz. 19 i 25-ym.
Występujące w zakończeniu tego rodzaju dowodów łacińskie zwroty: quae ratio in aliis usque in infinitum locum habet, quae in infinitum procedit methodus, eademque est in caeteris numeris ratio, in sequentibus porro res eodem se modo habet, są tłumaczeniem greckiego zwrotu Theona: kai mechris apeirou ho autos logos, względnie: ho de autos logos mechris apeirou, lub: ho de autos logos kai epi tes exes.
Por.J. S. Somiński:Metoda indukcji matematycznej (przekład z ros.), Warszawa 1955, s. 8 i 16.
Jest to teza pitagorejsko-platońska, do której wyraźne aluzje znajdują się u Nikomacha na początku rozdziału 19-ego, u Jamblicha na s. 73 i u Theona na s. 14–15 i 73. Warto dodać, że u Nikomacha w rozdz. 19-ym wypowiedż o celowości i porządku wszechświata znajduje się właśnie tuż przed dowodem indukcyjnym.
Theon np. cytowany jest w Arytmetyce Jordana i musiał często występować w matematyce XIII w., skoro J. Blancanus (zm. 1624) w swej Historii Matematyki uważa Jordana i Theona za współczesnych sobie. Por. Cantor: dz. cyt.Vorlesungen über Geschichte der Mathematik II, Leipzig 1892, s. 599.
Był obok Leonardo z Pizy najwybitniejszym matematykiem XIII w. Zwany jest też Nemoratius oraz—jeśli chodzi tu o tego samego dominikanina—Saxo, de Sachsen, Teutonicus. Por. Cantor: dz. cyt.Vorlesungen über Geschichte der Mathematik II, Leipzig 1892, s. 52 n.
Obok twierdzeń znajdują się na początku wyraźnie wymienione 20 dignitates (greckie aksjomaty, u Boetiusa communes) oraz 6 petitiones (postulaty). Natomiast każdą księgę poprzedzają definicje wprowadzanych terminów.
Godny podkreślenia jest fakt, że Jordan-Faber, jakby doceniając znaczenie tego dla dowodu, formalnie stwierdzają w 26-ej tezie ks. VII, iż jeden jest liczbą: ... (unitatem enim hic nomine numeri censemus)...
Duns Scotus:Opus Oxoniense, lib. I, dist. 3, q. IV, 15;Petri Tartareti In Aristotelis Logicam... Tractatus V, początek. W komentarzu do Fizyki Arystotelesa (In lib. I, q. VI), przypisywanym Szkotowi, a pochodzącym prawdopodobnie od Marsyliusa von Inghen, jest nawet wyraźnie mowa o tym, że w dochodzeniu do tez matematycznych posługujemy się doświadczeniem (tego ostatniego słowa używano także na oznaczenie indukcji).
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Kamiński, S. O Początkach Indukcji Matematycznej. Stud Logica 7, 221–241 (1958). https://doi.org/10.1007/BF02548939
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02548939