Bifurcations and complex instability in a 4-dimensional symplectic mapping

Sommario

Si svolge uuno studio dettagliato delle soluzioni periodiche principali di due mappe simplettiche bidimensionali accoppiate, calcolandone sia analiticamente che numericamente le biforcazioni per piccoli valori del parametro di accoppiamento μ. Quasi tutte le famiglie di periodo 2ⁿ (n≻0) prodotte dalle biforcazioni presentano regioni di instabilità complessa che si estendono da μ=0 fino al massimo valore di μ considerato. Queste regioni di instabilità complessa impediscono il trasferimento della stabilità di una famiglia a famiglie di ordine più elevato. In un solo caso si osserva una famiglia la cui regione di instabilità complessa non arriva ad estendersi fino al valore massimo di μ; in questo caso però il trasferimento della stabilità viene interrotto da una biforcazione inversa. Se ne conclude che, nonostante I'esistenza di una famiglia di infinite biforcazioni di tipo Feigenbaum nel caso limite bidimensionale (μ=0), tutte le sequenze si interrompono se il sistema è a quattro dimensioni. Il formarsi di regioni di instabilità complessa per μ ≠ 0 può essere previsto studiando il caso μ=0 ed appplicando il teorema di Krein-Moser.

Summary

We study the main periodic solutions of a 4-dimensional symplectic mapping composed of two coupled 2-dimensional mappings. Their bifurcations were calculated numerically and also theoretically for small values of the coupling parameter μ. Most bifurcating families of period 2ⁿ (n≻0) have complex unstable regions that extend from μ=0 to the maximum allowed value of μ for each family. These complex unstable regions do not allow the transmisssion of the stability of the corresponding families to families of higher order. We found only one family with a complex unstable region not extending to the maximum μ, but in this case also the transmission of the stability is stopped at an inverse bifurcation. Thus although there are infinite sequences of bifurcations (of the Feigenbaum type) in the limiting 2-dimensional case μ=0, all such sequences are interrupted when the system is 4-dimensional (i.e. for μ≠0). The appearance of complex instability for μ=0 can be predicted by studying the cases μ=0 and applying the Krein-Moser theorem.