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Literatur
Zwei Abbildungen gehören zu derselben Klasse, wenn sie verbunden werden durch eine von einer Veränderlichen stetig abhängende Schar stetiger Abbildungen.
Math. Annalen100 (1928), S. 609–617; im folgenden immer mit „Gl.” zitiert.
Auch der Fall, daßG nicht orientierbar ist, hätte nur eine geringe Abänderung des Ergebnisses und Beweises mit sich gebracht.
In Gl. waren zwar die FlächenF undG als orientierbar vorausgesetzt; beim Beweis der hier aufgeführten Sätze wurde aber davon kein Gebrauch gemacht. Im Falle der projektiven Ebene sollen die Durchmesser der Dreiecke kleiner als π:6 sein.
Daß dies möglich ist, zeigt sich folgendermaßen: Man verbindet etwav mit einer Eckeq an der Mündung vonk durch einen einfachen Seitenzugz im Inneren vonb und führes dicht bei dem folgenden Seitenzug: vont nachv;z; Umlauf umk;z; vonv nachw.
Das läßt sich mit endlich vielen Schritten ausführen, obwohl hier aus einer unendlichen Gesamtheit nach einer Kleinstforderung auszuwählen ist; man kann nämlich an Hand der vorliegenden Gestalt aller Bündel leicht von vornherein die gesamte Seitenzahl des Zuges nach oben beschränken.
Der Gedanke liegt nahe, von hier aus zu einer Übersicht über alle möglichen Abbildungsklassen einer gegebenen Flächea auf eine andere zu gelangen; doch bietet dabei der Fall 3 gewisse Schwierigkeiten. Ich gehe darauf nicht ein.
Ist nämlich ein Gebiet γ inG genaum-fach bedeckt, sind auf γ genaum Teilgebiete vonF eineindeutig abgebildet und sonst keine Punkte, so liefert bei der Berechnung vona jedes dieser Gebiete einen Summanden ±1; ihre Anzahlm ist mindestensa.
Will man nur auf diese Ungleichung hinaus, so braucht man die Reduktion nicht so weit durchzuführen. Man braucht sich nur davon zu überzeugen, daß die kleinste Bedeckungszahl der Klasse von einer normalen Abbildung verwirklicht wird und bei dieser die Ketten zweiter Art zu beseitigen (Gl. § 3); dann führt eine etwas umständlichere Abzählung zum Ziel.
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Kneser, H. Die kleinste Bedeckungszahl innerhalb einer Klasse von Flächenabbildungen. Math. Ann. 103, 347–358 (1930). https://doi.org/10.1007/BF01455699
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01455699