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Literatur
Si α n'est pas entier, on remplace, comme il est d'usage, le coefficient\(\left( {\begin{array}{*{20}c} {n + a} \\ {n - k} \\ \end{array} } \right)\) par\(\frac{{\Gamma (n + a + 1)}}{{(n - k)!\Gamma (k + a + 1)}}\)
A. Erdélyi, Funktionalrelationen mit konfluenten hypergeometrischen Funktionen. Math. Zeitschrift. t. 42. 1936, p. 125–143.
A. Erdélyi, On certain Hankel Transforms, Quarterly Journal of. Math. t. 9. 1938, p. 196–198, paru au mois de Septembre 1938.
E. Feldheim, Formules d'inversion et autres relations pour les polynômes orthogonaux classiques. Bull. Soc. Math. de France, sous presse.
Si l'on fait, dans (4),\(\frac{x}{\lambda } = y\), et λ→∞, on trouve, eu égard à (3), la relation:A nk a kk =a nk (k=0, 1, 2, ...,n). LesA nk seront liés par la relation\(\left( {\begin{array}{*{20}c} {n - k} \\ {n - s} \\ \end{array} } \right)A_{nk} = A_{ns} A_{sk} (k = 0,1,2, \ldots ,s;s = 0,1,2, \ldots ,n)\), identique à (6).
Voir, pour cette formule, les travaux cités sousA. Erdélyi, Funktionalrelationen mit konfluenten hypergeometrischen Funktionen. Math. Zeitschrift. t. 42. 1936, p. 125–143.A. Erdélyi, On certain Hankel Transforms, Quarterly Journal of. Math. t. 9. 1938, p. 196–198, paru au mois de Septembre 1938.E. Feldheim, Formules d'inversion et autres relations pour les polynômes orthogonaux classiques. Bull. Soc. Math. de France, sous presse.
En général, on aura la relation de multiplication\(\lambda ^n \Phi _n \left( {\frac{x}{\lambda }} \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {g_{n - k} (\lambda - 1)} \Phi _k (x),\) oùg n−k (λ−1) est un polynôme de degrén−k en\(\lambda - 1:\sum\limits_{r = 0}^{n - k} {A_r (\lambda - 1)^r }\), et les coefficientsA r ont pour valeur:\(A_r = \sum\limits_{s = k}^{n - r} {a_{ns} b_{sk} \left( {\frac{{n - s}}{r}} \right)}\). Icia ns etb ns désignent respectivement les coefficients du développement (3), et de son inversion:\(x^n = \sum\limits_{s = 0}^n {b_{ns} \Phi _s (x).}\)
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Feldheim, E. Une propriété caractéristique des polynômes de Laguerre. Commentarii Mathematici Helvetici 13, 6–10 (1940). https://doi.org/10.1007/BF01378048
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01378048