Komplexe Zahlen – Kartesische Koordinaten

Zusammenfassung

Die Zahlenmengen ${\mathbb{N}}\subseteq{\mathbb{N}}_{0}\subseteq{\mathbb{Z}}\subseteq{\mathbb{Q}}\subseteq{\mathbb{R}}$ kennt man aus der Schule. Diese Kette ineinander geschachtelter Zahlenmengen hört bei ${\mathbb{R}}$ jedoch nicht auf. Die komplexen Zahlen bilden die Zahlenmenge ${\mathbb{C}}$, wobei ${\mathbb{R}}\subseteq{\mathbb{C}}$ gilt.

Beim Rechnen mit reellen Zahlen stößt man beim Wurzelziehen auf Grenzen: Da Quadrate von reellen Zahlen stets positiv sind, ist es in ${\mathbb{R}}$ nicht möglich, Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen. Das wird nun in ${\mathbb{C}}$ sehr wohl möglich sein. Es wird sich zeigen, dass gerade das Wurzelziehen in ${\mathbb{C}}$ zu einer übersichtlichen Angelegenheit wird.

In ${\mathbb{C}}$ gilt weiterhin der Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom vom Grad $n\geq 1$ zerfällt über dem Zahlbereich ${\mathbb{C}}$ in n lineare Faktoren. Damit gibt es über ${\mathbb{C}}$ keine lästigen unzerlegbaren quadratischen Polynome wie $x^{2}+1$ oder $x^{2}+x+1$.

Die komplexen Zahlen vereinfachen tatsächlich oftmals Probleme. Wir werden solche Beispiele kennenlernen, machen uns nun aber erst einmal in diesem und dem folgenden Kapitel mit allen wesentlichen Eigenschaften komplexer Zahlen vertraut.