Zusammenfassung
Derjenige Begriff, auf dem sich die Einführung „unendlicher Zahlen“ und das Rechnen mit ihnen in erster Linie aufbaut, ist der Begriff der Äquivalenz.
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Referenzen
Vgl. z. B. H. Weber-P. Epstein: Arithmetik, Algebra und Analysis (1. Bd. der Enzyklopädie der Elementarmathematik von H. Weber und /. Wellstein), 4. Aufl. (Leipzig u. Berlin 1922), S. 1–15.
Vgl. hierzu die Fußnote 2) auf S. 16.
Die nächsten Betrachtungen können von dem weniger geübten Leser, namentlich bei der erstmaligen Lektüre, überschlagen werden. Allgemein soll in dieser Schrift — vor allem in den ersten Abschnitten, während deren Durcharbeitung sich der Leser von selbst eine gewisse Übung aneignen wird — durch kleineren Druck gewisser Stellen stets angedeutet werden, daß die betreffenden Betrachtungen etwas abstrakter Natur sind und vom Leser zunächst beiseite gelassen werden können, ohne daß dadurch das Verständnis der späteren Überlegungen beeinträchtigt wird.
Die „Nullklasse“ ist zunächst von den Vertretern der „Algebra der Logik“ verwendet, dann aber als Nullmenge von Zermelo und anderen systematisch in der Mengenlehre benutzt worden.
Man kann sich diese Festsetzung so plausibel machen: Fafit man von den Elementen einer gegebenen Menge M die zusammen, die eine gewisse Eigenschaft besitzen, so entsteht eine Teilmenge von M; ist die Eigenschaft speziell von solcher Art, daß kein Element von M sie besitzt, so wird die entstehende Teilmenge zur Nullmenge.
Für nähere Ausführung dieses und verwandter Punkte vergleiche man z. B. Weber-Epstsin: a. a. O., S. 11 ; O. Holder: Die Arithmetik in strenger Begründung (Leipzig 1914), S. 16; A. Loewy: Lehrbuch der Algebra I (Leipzig 1915), S. 384. In der hier hervorgehobenen Tatsache liegt übrigens auch der Grund dafür, daß — im Gegensatz zum allgemeinen Fall, vgl. oben S. 13 — bei endlichen Mengen schon das Mißglücken eines einzigen, irgendwie durchgeführten Versuchs zur umkehrbar eindeutigen Zuordnung zwischen den Elementen zweier Mengen die Nichtäquivalenz der Mengen dartut, daß also zur Vergleichung endlicher Mengen nicht etwa das Durchprobieren aller möglichen Zuordnungen erforderlich ist.
Auch die Nullmenge, die überhaupt keine echte Teilmenge besitzt, gilt nach Definition 3 als endliche Menge.
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Fraenkel, A. (1923). Die Begriffe der Äquivalenz, der Teilmenge, der unendlichen Menge. In: Einleitung in die Mengenlehre. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 9. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-25900-9_3
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