Systeme linearer Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten

Zusammenfassung

Die in der Kapitelüberschrift genannten Systeme haben die Gestalt

$$ % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeqabmqaaa % qaaiaadwhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccqGH9aqpcaWGHbWaaSba % aSqaaiaaigdacaaIXaaabeaakiaacIcacaWG0bGaaiykaiaadwhada % WgaaWcbaGaaGymaaqabaGccqGHRaWkcqWIVlctcqGHRaWkcaWGHbWa % aSbaaSqaaiaaigdacaWGUbaabeaakiaacIcacaWG0bGaaiykaiaadw % hadaWgaaWcbaGaamOBaaqabaGccqGHRaWkcaWGZbWaaSbaaSqaaiaa % igdaaeqaaOGaaiikaiaadshacaGGPaaabaGaeSO7I0eabaGaamyDam % aaBaaaleaacaWGUbaabeaakiabg2da9iaadggadaWgaaWcbaGaamOB % aiaaigdaaeqaaOGaaiikaiaadshacaGGPaGaamyDamaaBaaaleaaca % aIXaaabeaakiabgUcaRiabl+UimjabgUcaRiaadggadaWgaaWcbaGa % amOBaiaad6gaaeqaaOGaaiikaiaadshacaGGPaGaamyDamaaBaaale % aacaWGUbaabeaakiabgUcaRiaadohadaWgaaWcbaGaamOBaaqabaGc % caGGOaGaamiDaiaacMcaaaaaaa!6C66! \begin{array}{*{20}c} {u_1 = a_{11} (t)u_1 + \cdots + a_{1n} (t)u_n + s_1 (t)} \\ \vdots \\ {u_n = a_{n1} (t)u_1 + \cdots + a_{nn} (t)u_n + s_n (t)} \\ \end{array} $$

(56.1)

mit reellwertigen a _jk (t) und s _j (t).Setzen wir

$$ % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qacaWGbbWaaeWaa8aabaWdbiaadshaaiaawIcacaGLPaaacaGG6aGa % eyypa0ZaaeWaa8aabaqbaeqabmWaaaqaa8qacaWGHbWdamaaBaaale % aapeGaaGymaiaaigdaa8aabeaak8qadaqadaWdaeaapeGaamiDaaGa % ayjkaiaawMcaaaWdaeaapeGaeyOjGWlapaqaa8qacaWGHbWdamaaBa % aaleaapeGaaGymaiaad6gaa8aabeaak8qadaqadaWdaeaapeGaamiD % aaGaayjkaiaawMcaaaWdaeaapeGaeSO7I0eapaqaa8qacaWG0baapa % qaa8qacaWG0baapaqaa8qacaWGHbWdamaaBaaaleaapeGaamOBaiaa % igdaa8aabeaak8qadaqadaWdaeaapeGaamiDaaGaayjkaiaawMcaaa % WdaeaapeGaeyOjGWlapaqaa8qacaWGHbWdamaaBaaaleaapeGaamOB % aiaad6gaa8aabeaak8qadaqadaWdaeaapeGaamiDaaGaayjkaiaawM % caaaaaaiaawIcacaGLPaaacaGGSaGaamyDamaabmaapaqaa8qacaWG % 0baacaGLOaGaayzkaaGaaiOoaiabg2da9maabmaapaqaauaabeqade % aaaeaapeGaamyDa8aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qadaqa % daWdaeaapeGaamiDaaGaayjkaiaawMcaaaWdaeaapeGaeSO7I0eapa % qaa8qacaWG1bWdamaaBaaaleaapeGaamOBaaWdaeqaaOWdbmaabmaa % paqaa8qacaWG0baacaGLOaGaayzkaaaaaaGaayjkaiaawMcaaiaacY % cacaWGZbWaaeWaa8aabaWdbiaadshaaiaawIcacaGLPaaacaGG6aGa % eyypa0ZaaeWaa8aabaqbaeqabmqaaaqaa8qacaWGZbWdamaaBaaale % aapeGaaGymaaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0baacaGLOaGa % ayzkaaaapaqaa8qacqWIUlsta8aabaWdbiaadohapaWaaSbaaSqaa8 % qacaWGUbaapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiaadshaaiaawIcacaGL % PaaaaaaacaGLOaGaayzkaaaaaa!8305! A\left( t \right): = \left( {\begin{array}{*{20}c} {a_{11} \left( t \right)} & \ldots & {a_{1n} \left( t \right)} \\ \vdots & t & t \\ {a_{n1} \left( t \right)} & \ldots & {a_{nn} \left( t \right)} \\ \end{array} } \right),u\left( t \right): = \left( {\begin{array}{*{20}c} {u_1 \left( t \right)} \\ \vdots \\ {u_n \left( t \right)} \\ \end{array} } \right),s\left( t \right): = \left( {\begin{array}{*{20}c} {s_1 \left( t \right)} \\ \vdots \\ {s_n \left( t \right)} \\ \end{array} } \right) $$

so läßt sich (56.1) in der kompakten Form

$$ % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qaceWG1bGbaiaacqGH9aqpcaWGbbWaaeWaa8aabaWdbiaadshaaiaa % wIcacaGLPaaacaWG1bGaey4kaSIaam4Camaabmaapaqaa8qacaWG0b % aacaGLOaGaayzkaaaaaa!40F2! \dot u = A\left( t \right)u + s\left( t \right) $$

(56.2)

schreiben. Und nun gilt der grundlegende.

J’oserais presque assurer qu’avant qu’il soit cent ans, on ne comptera pas trois grands géomètres en Europe. Cette science s’arrêtera tout court où l’auront laissée les Bernoulli, les Euler, les Maupertuis, les Clairaut, les Fontaine et les d’Alembert... On n’ira point au-delà.

Denis Diderot im Jahre 1754

[Der Knabe] darf nicht ungetröstet gehn (Goethe):

Wenn die Methoden, die zu neuen Kombinationen führten, erschöpft sind; wenn ihre Anwendung auf noch ungelöste Fragen Arbeiten erfordern, die entweder die Zeit oder die Kraft der Gelehrten übersteigen, so eröffnen bald allgemeinere Methoden und einfachere Mittel dem Genie ein neues Feld.

Marie-Jean-Antoine-Nicolas Caritat de Condorcet im Jahre 1793