Unitary Padé approximants in strong coupling field theory and application to the calculation of the ρ- and f₀-meson regge trajectories

Summary

We show that the unitary Padé approximants, which are well suited for absorbing the essential singularities atg=0 in Lagrangian field theory, have in the case of a LagrangianL ₁=−g/4(ϕ_αϕ^α)², where ϕ_α is the π field, the following nice features: 1) they are built up from the perturbativeS-matrix expansion, coinciding with it up to fourth order in our case; 2) they are rigorously unitary (elastic) and contain also inelastic unitarity (4π) (the modulus of the diagonalizedS-matrix is smaller than 1 all over the inelastic cut); 3) they have correct analytic properties in the energy variable; 4) there are no difficulties in extending them to complex values of the angular momentum; 5) they satisfy the right requirements between the number of inelastic channels open and the precision required on the crossing symmetry; 6) the complete equivalence between unitary Padé approximants and the approximations derived from the Lippmann-Schwinger variational principle is proved at all orders (using the Cini-Fubini «ansatz»). We have computed the complete fourth-order renormalized, including 2π and 4π contributions both in the direct and crossed channels. The main results we obtain are the mass of the ρ and f₀ mesons and their Regge trajectories within 15% in agreement with experiment, in terms of only one parameter, the value ofg (∼6). The imaginary parts of Regge trajectories are found instable, so the widths are sensitive to the 6π and$K\bar K$ forces: in our model, the ρ and f₀ mesons appear as narrow objects.

Riassunto

Si mostra che gli approssimanti di Padé, che sono adatti per assorbire le singolarità essenziali perg=0 nella teoria dei campi lagrangiana, hanno, nel caso di una lagrangiana del tipoL ₁=−g/4(ϕ_αϕ^α)² dove ϕ_α è il campo dei pioni, le seguenti caratteristiche: 1) essi si derivano dallo sviluppo in serie della matriceS perturbativa e coincidono con essa fino al quarto ordine nel nostro caso; 2) essi sono rigorosamente unitari (elastici) e contengono anche unitarietà inelastiche (4π); (il modulo della matriceS diagonalizzata è minore di uno su tutto il taglio anelastico) 3) essi hanno proprietà analitiche corrette nella variabile energia; 4) non vi sono difficoltà per estenderli a valori complessi del momento angolare; 5) essi soddisfano le relazioni fra il numero di canali anelastici aperti e la precisione richiesta nella simmetria incrociata; 6) la completa equivalenza fra gli approssimanti unitari di Padé e le approssimazioni derivate dal principio variazionale di Lippmann-Schwinger è provata a tutti gli ordine (usando la posizione di Cini-Fubini). Si sono calcolati i contributi, includendo 2π e 4π, rinormalizzati fino al quarto ordine in entrambi i canali diretto e incrociato. Si ottengono le masse dei mesoni ρ ed f₀ e le loro traiettorie di Regge, in accordo al 15% con l'esperimento, in termini di un solo parametro, e il valore dig (∼6). Le parti immaginarie delle traiettorie di Regge risultano instabili così che le ampiezze sono sensibili alle forze di 6π e$K\bar K$: nel modello usato i mesoni ρ e f₀ sembrano oggetti simili.

Резюме

Мы показываем, что унитарные Падэ приближения, которые хорошо удовлетворяют для абсорбционных существенных особенностей приg=0 в лагранжианной теории поля, имеют следующие интересные особенности в случае ЛагранжианаL ₁=−g/4(ϕ_αϕ^α)², где ϕ_α представляет поле π: 1) они строятся из пертурбационного разложенияS матрицы, совпадающего вплоть до четвертого порядка в нашем случае; 2) они являются строго унитарными (упругая) и содержат также неупругую унитарность (4π); (модель диагональнойS матрицы меньше единицы для всего неупрутого разреза); 3) они имеют правильные аналитические свойства по энергетической переменной; 4) не существует трудностей при распространении их на комплексные значения момента; 5) они удовлетворяют правильным требованиям между числом открытых неупругих каналов и точностью, требуемой для кроссинт-симметрии; 6) во всех порядках (используя «подход» Чини-Фубини) доказывается полная эквивалентность между унитарными Падэ приближениями и приближениями выведенными из вариационного принципа Липмана-Швингера. Мы вычислили полные четвёртого порядка, перенормированные вклады, включая 2π и 4π, и для прямого и для поперечного каналов. Основными результатами, которые мы получили, являются массы ρ и f₀ мезонов и их Редже траектории, с 15% согласием с экспериментом, в терминах только одного параметра, величиныg(∼6). Обнаружено, что мнимые части Редже-тераекторий являются неустойчивыми; так ширины являются чувствительиыми к 6π и$K\bar K$ силам: в нашей модели, ρ и f₀ появляются как узкие обьекты.